Calcule a área do triângulo de vértices A(-1,0,2), B(0,1,1) e C(0,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área de um triângulo que está no espaço tridimensional. A gente tem os vértices desse triângulo nas coordenadas A(-1,0,2), B(0,1,1) e C(0,1,2). Para resolver isso, vamos precisar usar vetores e o produto vetorial para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores AB e AC, que vão do ponto A até os pontos B e C, respectivamente.

Passo 3

Calculando o vetor AB:
AB = B - A = (0 - (-1), 1 - 0, 1 - 2) = (1, 1, -1)
Calculando o vetor AC:
AC = C - A = (0 - (-1), 1 - 0, 2 - 2) = (1, 1, 0)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AB e AC. O produto vetorial nos dá um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e a magnitude desse vetor está relacionada à área do paralelogramo formado por AB e AC.
AB times AC = i & j & k 1 & 1 & -1 1 & 1 & 0
Calculando o determinante:
AB times AC = i(1 cdot 0 - (-1) cdot 1) - j(1 cdot 0 - (-1) cdot 1) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 1)
= i(0 + 1) - j(0 + 1) + k(1 - 1)
= i(1) - j(1) + k(0)
= (1, -1, 0)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que é a norma do produto vetorial:
|AB times AC| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Passo 6

A área do triângulo é metade da área do paralelogramo formado pelos vetores AB e AC. Então, a área A do triângulo é:
A = 12 |AB times AC| = 12 raiz2 = raiz22

Resposta

A área do triângulo é dfracraiz22 unidades de área.

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