Mostre que
det[ccc 1 & 1 & 1 alpha & beta & gamma alpha^2 & beta^2 & gamma^2 ]=(alpha-beta)(beta-gamma)(gamma-alpha)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
1 & 1 & 1 alpha & beta & gamma alpha^2 & beta^2 & gamma^2
Este é um caso clássico de determinante do tipo Vandermonde. Vamos usar operações em colunas para simplificá-lo.

Passo 2

Subtraímos a primeira coluna de cada uma das outras duas: fazemos
C2 C2-C1, C3 C3-C1
Como essa operação adiciona múltiplos de uma coluna a outra, o valor do determinante não muda. A matriz vira
1 & 0 & 0 alpha & beta-alpha & gamma-alpha alpha^2 & beta^2-alpha^2 & gamma^2-alpha^2

Passo 3

Agora expandimos o determinante pela primeira linha, que tem um único elemento não nulo (na posição (1,1)):
det = 1cdot det beta-alpha & gamma-alpha beta^2-alpha^2 & gamma^2-alpha^2

Passo 4

Note que beta^2-alpha^2=(beta-alpha)(beta+alpha) e gamma^2-alpha^2=(gamma-alpha)(gamma+alpha). Então o 2times2 é
(beta-alpha)(gamma+alpha)-(gamma-alpha)(beta+alpha) =(beta-alpha)(gamma-alpha)l[(gamma+alpha)-(beta+alpha)r]
=(beta-alpha)(gamma-alpha)(gamma-beta)

Passo 5

Portanto
det =(beta-alpha)(gamma-alpha)(gamma-beta)
Basta reescrever esse produto na forma desejada. Como
(beta-alpha)(gamma-alpha)(gamma-beta) =(alpha-beta)(beta-gamma)(gamma-alpha),
concluímos o resultado pedido.

Resposta

det 1 & 1 & 1 alpha & beta & gamma alpha^2 & beta^2 & gamma^2 =(alpha-beta)(beta-gamma)(gamma-alpha)

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