Sabe-se que o vetor v é igual a (4,0,-2). Calcule o vetor w que tem módulo igual a 3 e sentido igual ao de v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores e nos pede para encontrar um vetor w que tenha módulo igual a 3 e que aponte na mesma direção que o vetor v = (4, 0, -2) . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, módulo de um vetor e direção dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor v . O módulo de um vetor v = (vx, vy, vz) é dado pela fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Aplicando essa fórmula ao vetor v = (4, 0, -2) :
|v| = raiz4^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz16 + 0 + 4 = raiz20 = 2raiz5

Passo 3

Agora que sabemos o módulo de v , vamos encontrar o vetor unitário na direção de v . Um vetor unitário tem módulo 1 e aponta na mesma direção do vetor original. Para isso, dividimos cada componente de v pelo seu módulo:
v = ( 42raiz5, 02raiz5, -22raiz5 ) = ( 2raiz5, 0, -1raiz5 )

Passo 4

Agora que temos o vetor unitário v , podemos encontrar o vetor w que tem módulo igual a 3. Para isso, multiplicamos cada componente do vetor unitário pelo módulo desejado (3):
w = 3 times v = ( 3 times 2raiz5, 3 times 0, 3 times -1raiz5 ) = ( 6raiz5, 0, -3raiz5 )

Passo 5

Para deixar a resposta mais elegante, podemos racionalizar os denominadores, multiplicando numerador e denominador por raiz5 :
w = ( 6raiz55, 0, -3raiz55 )

Resposta

O vetor w com módulo igual a 3 e na mesma direção de v é:
w = ( 6raiz55, 0, -3raiz55 )

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