Dados os pontos A(1,0,-3), B(1,3,0) e C(2,3,2), determine o vetor 3AB+CA-BC.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente tem três pontos no espaço: A(1, 0, -3) , B(1, 3, 0) e C(2, 3, 2) . O objetivo é encontrar o vetor 3AB + CA - BC . Para isso, vamos precisar entender como calcular vetores entre pontos e como fazer operações como multiplicação por escalar e soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como encontrar o vetor que vai de um ponto a outro. Se temos dois pontos P(xp, yp, zp) e Q(xq, yq, zq) , o vetor PQ é dado por:
PQ = (xq - xp, , yq - yp, , zq - zp)
Vamos calcular cada um dos vetores que precisamos: AB , CA e BC .

Passo 3

Calculando AB :
AB = (1 - 1, , 3 - 0, , 0 - (-3)) = (0, , 3, , 3)

Passo 4

Calculando CA :
CA = (1 - 2, , 0 - 3, , -3 - 2) = (-1, , -3, , -5)

Passo 5

Calculando BC :
BC = (2 - 1, , 3 - 3, , 2 - 0) = (1, , 0, , 2)

Passo 6

Agora, vamos aplicar as operações solicitadas:
3AB = 3 times (0, , 3, , 3) = (0 times 3, , 3 times 3, , 3 times 3) = (0, , 9, , 9)
CA = (-1, , -3, , -5)
-BC = -1 times (1, , 0, , 2) = (-1, , 0, , -2)

Passo 7

Agora vamos somar os vetores resultantes:
3AB + CA - BC = (0, , 9, , 9) + (-1, , -3, , -5) + (-1, , 0, , -2)
Vamos somar componente por componente:
  • Componente x : 0 + (-1) + (-1) = -2
  • Componente y : 9 + (-3) + 0 = 6
  • Componente z : 9 + (-5) + (-2) = 2

Resposta

Portanto, o vetor 3AB + CA - BC é:
(-2, , 6, , 2)

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