Calcule a área do triângulo de vértices A(2,-2,1), B(1,-1,1) e C(1,0,-1).
Resp.: A=3 / 2.

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo em \mathbb{R}^3:
A=(2,-2,1),\quad B=(1,-1,1),\quad C=(1,0,-1).
Queremos a área desse triângulo. O conteúdo que vamos usar é: em \mathbb{R}^3 a área do triângulo ABC é
\tfrac12\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\|
logo precisamos calcular os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, seu produto vetorial e o módulo resultante.

Passo 2

Calculamos os vetores a partir da diferença de coordenadas:
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2,\,-1-(-2),\,1-1)=(-1,1,0),
\overrightarrow{AC}=C-A=(1-2,\,0-(-2),\,-1-1)=(-1,2,-2).

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -1&1&0\\\\ -1&2&-2 \end{vmatrix} =(\,1\cdot(-2)-0\cdot2,\;-\bigl(-1\cdot(-2)-0\cdot(-1)\bigr),\;-1\cdot2-1\cdot(-1)\,)
=(-2,\,-2,\,-1).

Passo 4

Calculamos o módulo do vetor acima:
\bigl\|(-2,-2,-1)\bigr\| =\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-1)^2} =\sqrt{4+4+1} =\sqrt{9} =3.

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é metade desse módulo:
\text{Área}=\tfrac12\cdot3=\tfrac32.Á

Resposta

\displaystyle \tfrac32

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