Dados os vetores \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(0,-1,3), calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores \overrightarrow{w_{1}}=2 \vec{u} e \overrightarrow{w_{2}}=\vec{v}-\vec{u}.
Resp.: A=2 \sqrt{35}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(0,-1,3), define \overrightarrow{w_{1}}=2\vec{u} e \overrightarrow{w_{2}}=\vec{v}-\vec{u} e pede a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{w_{1}} e \overrightarrow{w_{2}}.
Para isso, usamos que a área é
A = \bigl\|\overrightarrow{w_{1}}\times\overrightarrow{w_{2}}\bigr\|.

Passo 2

Primeiro calculamos os vetores \overrightarrow{w_{1}} e \overrightarrow{w_{2}}:
\overrightarrow{w_{1}} = 2\vec{u} = (2,4,-2), \qquad \overrightarrow{w_{2}} = \vec{v}-\vec{u} = (-1,-3,4).

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial \overrightarrow{w_{1}}\times\overrightarrow{w_{2}}. Em forma de determinante:
\overrightarrow{w_{1}}\times\overrightarrow{w_{2}} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 4 & -2 \\\\ -1 & -3 & 4 \end{vmatrix} = 10\,\mathbf{i} - 6\,\mathbf{j} - 2\,\mathbf{k}.

Passo 4

Por fim, calculamos a norma desse vetor para obter a área:
\bigl\|\overrightarrow{w_{1}}\times\overrightarrow{w_{2}}\bigr\| = \sqrt{10^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 36 + 4} = \sqrt{140} = 2\sqrt{35}.

Resposta

A = 2\sqrt{35}.

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