Calcule a área do triângulo de vértices P(1,3,2), Q(2,-1,1), R(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo com vértices P(1,3,2), Q(2,-1,1) e R(1,2,3). Como estamos em R^3, a ideia é usar o produto vetorial de dois lados do triângulo para achar a área via
Área = 12|,(Q-P)times(R-P)| Á

Passo 2

Primeiro definimos os vetores de arestas partindo de P:
PQ = Q - P = (2-1,,-1-3,,1-2) = (1,,-4,,-1),
PR = R - P = (1-1,,2-3,,3-2) = (0,,-1,,1)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial PQ times PR. Usando a fórmula
(a1,a2,a3)times(b1,b2,b3) =l(a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1r),
temos
PQtimes PR =( -4cdot1 - (-1)(-1),;(-1)cdot0 - 1cdot1,;1cdot(-1) -(-4)cdot0 ) =(-5,,-1,,-1)

Passo 4

A norma desse vetor é
|PQtimes PR| =raiz(-5)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 =raiz25 + 1 + 1 =raiz27 =3raiz3

Passo 5

Por fim, a área do triângulo é
Área =12,|PQtimes PR| =12times 3raiz3 =3raiz32 Á

Resposta

3raiz32

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