- Seja A uma matriz n x n. prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a)
:
(b)
é invertível:
(c) Para cada
, o sistema
tem uma única solução.
(a)
(b)
(c) Para cada
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
e pede para mostrar a equivalência destas três propriedades:
(a) o núcleo de , isto é,
(a) o núcleo de
é apenas
;
(b) é invertível (existe
);
(c) para todo , o sistema
tem exatamente uma solução.
Vamos usar conceitos de espaço nulo, injeção/surjeção de aplicações lineares em dimensão finita e definição de inversa de matriz.
(b)
(c) para todo
Vamos usar conceitos de espaço nulo, injeção/surjeção de aplicações lineares em dimensão finita e definição de inversa de matriz.
Passo 2
Mostramos
.
Se , então a aplicação linear
dada por
é injetora. Num espaço vetorial de dimensão finita, injeção implica bijeção quando o domínio e o contradomínio têm mesma dimensão. Logo
é sobrejetora e admite inversa linear
. Essa inversa é exatamente a multiplicação por
, de modo que
é invertível.
Se
Passo 3
Mostramos
.
Se é invertível, existe
tal que para todo
podemos definir
Se
e então
Isto garante existência de solução. Para a unicidade, se
e
satisfazem
e
, então
Logo a solução é única.
Passo 4
Mostramos
.
Basta escolher . A hipótese diz que
tem exatamente uma solução. Como
sempre satisfaz
, não pode haver outro vetor não nulo no núcleo. Portanto
Basta escolher
Resposta
As três afirmações (a), (b) e (c) são equivalentes.