1. Seja A uma matriz n x n. prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
    (a) N(A)=0 :
    (b) A é invertível:
    (c) Para cada b in R^n, o sistema Ax=b tem uma única solução.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz ntimes n e pede para mostrar a equivalência destas três propriedades:
(a) o núcleo de A, isto é,
N(A)=xinR^nmid Ax=0,
é apenas 0;
(b) A é invertível (existe A^-1);
(c) para todo binR^n, o sistema Ax=b tem exatamente uma solução.
Vamos usar conceitos de espaço nulo, injeção/surjeção de aplicações lineares em dimensão finita e definição de inversa de matriz.

Passo 2

Mostramos (a)Rightarrow(b).
Se N(A)=0, então a aplicação linear T:R^ntoR^n dada por T(x)=Ax é injetora. Num espaço vetorial de dimensão finita, injeção implica bijeção quando o domínio e o contradomínio têm mesma dimensão. Logo T é sobrejetora e admite inversa linear T^-1. Essa inversa é exatamente a multiplicação por A^-1, de modo que A é invertível.

Passo 3

Mostramos (b)Rightarrow(c).
Se A é invertível, existe A^-1 tal que para todo b podemos definir
x = A^-1b,
e então
A x = A(A^-1b) = b
Isto garante existência de solução. Para a unicidade, se x1 e x2 satisfazem A x1 = b e A x2 = b, então
A x1 = A x2 Longrightarrow x1 = A^-1A,x1 = A^-1A,x2 = x2
Logo a solução é única.

Passo 4

Mostramos (c)Rightarrow(a).
Basta escolher b=0. A hipótese diz que Ax=0 tem exatamente uma solução. Como x=0 sempre satisfaz A x=0, não pode haver outro vetor não nulo no núcleo. Portanto
N(A)=0

Resposta

As três afirmações (a), (b) e (c) são equivalentes.

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