Calcule a área do triângulo de vértices P Q R onde:
P=(1,5,-2), Q=(-1,2,7) R=(1,3,-6)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo com vértices P=(1,5,-2), Q=(-1,2,7) e R=(1,3,-6). O conteúdo é geometria vetorial no espaço e vamos usar o produto vetorial para obter a área a partir da magnitude de \overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}.

Passo 2

Calculamos os vetores \overrightarrow{PQ} = Q - P = (-1-1,\;2-5,\;7-(-2)) = (-2,-3,9) \overrightarrow{PR} = R - P = (1-1,\;3-5,\;-6-(-2)) = (0,-2,-4).

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial
\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2 & -3 & 9 \\\\ 0 & -2 & -4 \end{vmatrix} = (30,\,-8,\,4).

Passo 4

A magnitude desse vetor é
\|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}\| = \sqrt{30^2 + (-8)^2 + 4^2} = \sqrt{900 + 64 + 16} = \sqrt{980} = 14\sqrt{5}.

Passo 5

Como a área do triângulo é metade da magnitude do produto vetorial, temos
\text{área} = \frac{1}{2}\|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}\| = \frac{1}{2}\cdot 14\sqrt{5} = 7\sqrt{5}.á

Resposta

A área do triângulo PQR é 7\sqrt{5}.

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