Encontre área do paralelogramo delimitado pelos vetores:
\vec{v}=(3,2,-1), \vec{w}=(2,2,-6)

Passo 1

O enunciado pede a área do paralelogramo gerado pelos vetores \vec{v}=(3,2,-1) e \vec{w}=(2,2,-6).
Conteúdo: produto vetorial em \mathbb{R}^3 e módulo de vetor. Para encontrar a área, basta calcular \|\vec{v}\times\vec{w}\|.

Passo 2

Recordando que o produto vetorial de \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) é
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] v_1 & v_2 & v_3 \\[3pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix},
cujo resultado é o vetor cujas componentes são dadas por determinantes de submatrizes 2\times 2.]

Passo 3

Aplicando aos nossos vetores:
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[3pt] 3 & 2 & -1 \\[3pt] 2 & 2 & -6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\,(2\cdot(-6)-(-1)\cdot2) - \mathbf{j}\,(3\cdot(-6)-(-1)\cdot2) + \mathbf{k}\,(3\cdot2-2\cdot2).
Calculando cada termo:
2\cdot(-6)-(-1)\cdot2 = -12 +2 = -10,\quad 3\cdot(-6)-(-1)\cdot2 = -18 +2 = -16,\quad 3\cdot2-2\cdot2 = 6 -4 = 2.
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\vec{v}\times\vec{w}=(-10,\,16,\,2).]

Passo 4

A área do paralelogramo é o módulo de \vec{v}\times\vec{w}:
\|\vec{v}\times\vec{w}\| = \sqrt{(-10)^2 + 16^2 + 2^2} = \sqrt{100 + 256 + 4} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}.

Resposta

A área é 6\sqrt{10}.

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