Encontre área do paralelogramo delimitado pelos vetores:
\vec{v}=(1,-2,5), \vec{w}=(3,-1,2)

Passo 1

O enunciado pede a área do paralelogramo delimitado pelos vetores \vec{v}=(1,-2,5) e \vec{w}=(3,-1,2) no espaço. Para resolver, vamos usar o produto vetorial e em seguida o módulo desse vetor.

Passo 2

A teoria diz que a área A do paralelogramo formado por \vec{v} e \vec{w} em \mathbb{R}^3 é dada por
A = \|\vec{v} \times \vec{w}\|.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial:
\vec{v}\times\vec{w} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -2 & 5\\\\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \bigl((-2)\cdot2 - 5\cdot(-1),\;-(1\cdot2 - 5\cdot3),\;1\cdot(-1) - (-2)\cdot3\bigr) = (1,\,13,\,5).

Passo 4

Agora obtemos o módulo desse vetor:
\|\vec{v}\times\vec{w}\| = \sqrt{1^2 + 13^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 169 + 25} = \sqrt{195}.

Resposta

\sqrt{195}

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