Encontre produto misto entre os vetores
\vec{u}=(2,-1,3), \vec{v}=(1,0,2) e \vec{w}=(-1,4,0)

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço tridimensional \vec{u} = (2,-1,3), \vec{v} = (1,0,2) e \vec{w} = (-1,4,0)
e pede o produto misto, que é definido como
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Para resolver, primeiro calculamos o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} e depois fazemos o produto escalar com \vec{u}.

Passo 2

Calculamos
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 4 & 0 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo pelo método das componentes:
\vec{v}\times\vec{w} = \mathbf{i}(0\cdot0 - 2\cdot4) - \mathbf{j}(1\cdot0 - 2\cdot(-1)) + \mathbf{k}(1\cdot4 - 0\cdot(-1))
= -8\,\mathbf{i} - 2\,\mathbf{j} + 4\,\mathbf{k},
logo \vec{v}\times\vec{w} = (-8,-2,4).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec{u} = (2,-1,3) com o resultado acima:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = (2)(-8) + (-1)(-2) + (3)(4) = -16 + 2 + 12 = -2.

Resposta

-2

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