(2,5) Calcule a área, usando integral dupla, da região delimitada pelas curvas dadas pelas equações: y^{2}+x=0, x-y-4=0, y+1=0 e y-2=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \;y^{2}+x=0, \;x-y-4=0, \;y+1=0 e \;y-2=0.
O conteúdo é integração dupla para calcular área, e vamos precisar:
  1. Escrever a região R em termos de x e y.
  2. Montar \displaystyle A=\iint_{R}dA.
  3. Calcular a integral iterada.

Passo 2

Identificamos as fronteiras horizontais em y:
y+1=0\implies y=-1, \quad y-2=0\implies y=2.
As curvas verticais são \;y^{2}+x=0\implies x=-y^{2} (esquerda)
e \;x-y-4=0\implies x=y+4 (direita).
Logo
R=\bigl\{(x,y)\mid -1\le y\le2,\,-y^{2}\le x\le y+4\bigr\}
e a área é
A=\iint_{R}dA =\int_{y=-1}^{2}\int_{x=-y^{2}}^{y+4}dx\,dy.

Passo 3

Fazendo a integral interna em x:
\int_{x=-y^{2}}^{y+4}dx =\bigl[(y+4)-(-y^{2})\bigr] =y^{2}+y+4.
Portanto
A =\int_{-1}^{2}(y^{2}+y+4)\,dy.

Passo 4

Calculamos a primitiva de y^{2}+y+4:
\int(y^{2}+y+4)\,dy =\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}+4y.
Avaliaremos de -1 a 2:
Em y=2:
\frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{2}}{2}+4\cdot2 =\frac{8}{3}+2+8 =\frac{38}{3}.
Em y=-1:
\frac{(-1)^{3}}{3}+\frac{(-1)^{2}}{2}+4\cdot(-1) =-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-4 =-\frac{23}{6}.
A diferença é
A =\frac{38}{3}-\Bigl(-\frac{23}{6}\Bigr) =\frac{76}{6}+\frac{23}{6} =\frac{99}{6} =\frac{33}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{33}{2}

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