Use a Regra da substituição para Integrais definidas para Calcular as integrais:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{3}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\bigl(1+x^{3}\bigr)^{2}}\,dx
usando a regra da substituição em integrais definidas. Vamos aplicar a técnica de trocar a variável de integração para simplificar o integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + x^{3},
porque a parte 1+x^{3} está elevada ao quadrado e sua derivada é proporcional a x^{2}, que aparece no numerador.

Passo 3

Calculamos du e ajustamos os limites de integração. Como
u = 1 + x^{3} \quad\Longrightarrow\quad du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Quando x=0, u=1+0^{3}=1.
Quando x=1, u=1+1^{3}=2.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\bigl(1+x^{3}\bigr)^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u^{2}}\;\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int_{1}^{2} u^{-2}\,du.

Passo 4

Integramos em termos de u. Lembrando que
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C,
temos
\frac{1}{3}\int_{1}^{2} u^{-2}\,du = \frac{1}{3}\bigl[-u^{-1}\bigr]_{1}^{2}.

Passo 5

Avaliamo-nos em u=2 e u=1:
\frac{1}{3}\bigl[-u^{-1}\bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{2} - \bigl(-1\bigr)\Bigr) = \frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{2} + 1\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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