(2,5) Calcule, usando coordenadas polares, a seguinte integral
\iint_{D} \frac{y}{x^{2}+y^{2}} d A
onde D é a região delimitada no 2^{0} quadrante, por x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\iint_{D} \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dA
em que D é a região do segundo quadrante limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4. Vamos usar coordenadas polares, em que
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares a função vira
\frac{y}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r\sin\theta}{r^{2}} = \frac{\sin\theta}{r},
e o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Multiplicando, o integrando fica
\frac{\sin\theta}{r}\,\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) = \sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 3

A região D em polares corresponde a
1 \le r \le 2, \quad \frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi,
pois o segundo quadrante tem \theta de \pi/2 a \pi e r vai de 1 até 2.

Passo 4

Então a integral iterada é
\int_{\theta=\pi/2}^{\pi} \int_{r=1}^{2} \sin\theta\,dr\,d\theta = \int_{\pi/2}^{\pi}\sin\theta\Bigl(\int_{1}^{2}dr\Bigr)d\theta = (2-1)\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
Como
\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{\pi/2}^{\pi} = \bigl(-\cos\pi\bigr)-\bigl(-\cos(\pi/2)\bigr) = (-(-1))-(-0) = 1,
segue que a integral total vale 1.

Resposta

1

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