Exercício 4 (a) Determine qual ou quais das funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}=x^{3} e z_{3}(x)=e^{-x} são soluções da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0
(b) Seja y_{1}(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y_{2}(x) de forma que y_{1}(x) e y_{2}(x) sejam soluções fundamentais da equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0
e pede em (a) testar se as funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}(x)=x^{3} e z_{3}(x)=e^{-x} satisfazem essa equação, e em (b) usar uma solução obtida em (a) para encontrar uma segunda solução fundamental via redução de ordem.

Passo 2

Para z_{1}(x)=x^{2} temos
y'=2x,\quad y''=2.
Substituindo em
(x+3)y''+(x+2)y'-y
vem
(x+3)\cdot2+(x+2)\cdot2x - x^{2} =2x+6+2x^{2}+4x - x^{2} =x^{2}+6x+6\neq0
logo z_{1} não é solução.

Passo 3

Para z_{2}(x)=x^{3} temos
y'=3x^{2},\quad y''=6x.
Substituindo em
(x+3)\cdot6x+(x+2)\cdot3x^{2}-x^{3} =6x^{2}+18x+3x^{3}+6x^{2}-x^{3} =2x^{3}+12x^{2}+18x \neq0
para todo x, portanto z_{2} também não é solução.

Passo 4

Para z_{3}(x)=e^{-x} temos
y'=-e^{-x},\quad y''=e^{-x}.
Então
(x+3)y''+(x+2)y'-y =(x+3)e^{-x}+(x+2)(-e^{-x})-e^{-x} =e^{-x}\bigl[(x+3)-(x+2)-1\bigr]=0,
logo z_{3} é solução.

Passo 5

Vamos achar uma segunda solução y_{2} usando redução de ordem, tomando y_{1}(x)=e^{-x}. Primeiro colocamos a equação em forma padrão
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0,
dividindo por x+3:
P(x)=\frac{x+2}{x+3},\quad Q(x)=-\frac1{x+3}.
A fórmula de redução de ordem dá
y_{2}=y_{1}\int\frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
Como
\int P(x)\,dx =\int\Bigl(1-\frac1{x+3}\Bigr)dx =x-\ln|x+3|,
segue
e^{-\int P\,dx} =e^{-x+\ln|x+3|} =(x+3)e^{-x},
e
\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}} =\frac{(x+3)e^{-x}}{e^{-2x}} =(x+3)e^{x}.
Integramos
\int(x+3)e^{x}dx =e^{x}(x+2)+C,
portanto
y_{2}(x)=e^{-x}\cdot e^{x}(x+2)=x+2.

Resposta

(a) Apenas z_{3}(x)=e^{-x} é solução.
(b) Uma segunda solução independente é y_{2}(x)=x+2, de modo que \{y_{1}=e^{-x},\,y_{2}=x+2\} é conjunto fundamental.

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