Exercício 4 (a) Determine qual ou quais das funções
e
são soluções da equação
(b) Seja
uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução
de forma que
e
sejam soluções fundamentais da equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
e pede em (a) testar se as funções
,
e
satisfazem essa equação, e em (b) usar uma solução obtida em (a) para encontrar uma segunda solução fundamental via redução de ordem.
Passo 2
Para
temos
Substituindo em
vem
logo
não é solução.
Passo 3
Para
temos
Substituindo em
para todo
, portanto
também não é solução.
Passo 4
Para
temos
Então
logo
é solução.
Passo 5
Vamos achar uma segunda solução
usando redução de ordem, tomando
. Primeiro colocamos a equação em forma padrão
dividindo por
:
A fórmula de redução de ordem dá
Como
segue
e
Integramos
portanto
Resposta
(a) Apenas
é solução.
(b) Uma segunda solução independente é , de modo que
é conjunto fundamental.
(b) Uma segunda solução independente é