Calcule usando a integração por partes:
\int_{0}^{2} x e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} x\,e^{x}\,dx
usando o método de integração por partes. Vamos lembrar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e escolher adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int e^{x}dx = e^{x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes de maneira indefinida, temos
\int x\,e^{x}dx = x\,e^{x} - \int e^{x}dx = x\,e^{x} - e^{x} + C.

Passo 4

Agora consideramos o intervalo de 0 a 2. Logo,
\int_{0}^{2} x\,e^{x}\,dx = \bigl[x\,e^{x} - e^{x}\bigr]_{0}^{2}.

Passo 5

Calculando nos limites:
Para x=2:
2\,e^{2} - e^{2} = e^{2},
Para x=0:
0\cdot e^{0} - e^{0} = -1.
Portanto,
\int_{0}^{2} x\,e^{x}\,dx = e^{2} - (-1) = e^{2} + 1.

Resposta

\,e^{2} + 1

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