(a) Calcule a área e o volume de uma esfera de raio
. (b) Calcule a área e o volume de uma esfera de raio
. © Compare os resultados anteriores.
Para a esfera de raio 1 cm temos,
Para a esfera de raio 2 cm ,
Como o raio é multiplidado por dois, a área é multiplicada por
e o volume por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área e o volume de esferas com raios de 1 cm e 2 cm e, em seguida, comparar os resultados. O conteúdo é geometria do espaço, em particular as fórmulas de área e volume de uma esfera, e vamos precisar usar as expressões matemáticas que relacionam essas grandezas ao raio.
Passo 2
As fórmulas gerais para uma esfera de raio
são:
Aqui explicamos que
é a área da superfície e
é o volume.
Passo 3
Para
cm, aplicamos as fórmulas:
Aqui fizemos a substituição direta de
, calculamos as potências e aproximamos o valor de
.
Passo 4
Para
cm, repetimos o processo:
Aqui vimos que ao elevar ao quadrado e ao cubo, os fatores são
na área e
no volume.
Passo 5
Para comparar, observamos que dobrar o raio implica em multiplicar a área por
e o volume por
. Portanto, as dimensões crescem mais rapidamente no volume do que na área quando o raio aumenta.
Resposta
Para r = 1 cm: A = 12,57 cm² e V = 4,19 cm³
Para r = 2 cm: A = 50,27 cm² e V = 33,51 cm³
Ao dobrar o raio, a área é multiplicada por 4 e o volume por 8.
Para r = 2 cm: A = 50,27 cm² e V = 33,51 cm³
Ao dobrar o raio, a área é multiplicada por 4 e o volume por 8.