Considere um cubo de aresta 1 cm . (a) Se o volume aumenta 60 %, quanto aumenta a área? (b) Quanto aumenta a aresta? © Quanto vale o fator de escala?
O novo volume é
V^prime=(1,6) V,
logo,
& l^prime 3=(1,6) l^3 & l^prime=(1,6)^1 / 3 l=(1,17) l
O fator de escala é L=1,17. A nova área é
A^prime=L^2 A=(1,37) A
A área aumenta 37 %.

Passo 1

Resumindo a questão: um cubo de aresta l=1 cm tem seu volume aumentado em 60%. O objetivo é usar proporções de semelhança (volume propto l^3 e área propto l^2) para calcular o aumento percentual da área, o aumento percentual da aresta e o fator de escala que relaciona o cubo original ao aumentado.

Passo 2

Começamos pelo volume: o novo volume satisfaz
V' = 1,6,V
e como V = l^3, segue
l'^3 = 1,6,l^3
Logo
l' = (1,6)^1/3,l approx 1,17,l

Passo 3

O fator de escala L é a razão entre as arestas:
L = l'l = (1,6)^1/3 approx 1,17
Portanto, a aresta aumenta em (L-1)times100%approx17%.

Passo 4

Para a área usamos Apropto l^2. Assim, o novo valor é
A' = L^2,A approx (1,17)^2,A approx 1,37,A
Logo, a área aumenta em (1,37-1)times100%approx37%.

Resposta

a) A área aumenta 37%; b) A aresta aumenta 17%; c) O fator de escala é Lapprox1,17.

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