Calcule as áreas entre as curvas:
(d) Encontre a área da região entre as curvas
e
;
(d) Encontre a área da região entre as curvas
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a área entre duas curvas:
e
. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente da integração para encontrar áreas entre curvas. Pra resolver isso, a gente vai precisar achar os pontos onde essas duas curvas se encontram e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando
. Então, vamos igualar as duas equações:
Passo 3
Vamos resolver essa equação pra achar os valores de
. Subtraindo
de ambos os lados, fica:
Essa é uma equação quadrática na forma
. A solução pra isso é usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Aplicando os valores
,
e
:
Simplificando a raiz:
Então:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora que temos os valores de
, vamos identificar qual função está por cima no intervalo. Vamos testar um valor entre
e
, por exemplo,
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
A área entre as curvas é a integral da função de cima menos a função de baixo, de
a
:
Simplificando dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar
:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Esse cálculo envolve expandir os termos e simplificar, mas, no final, a área resulta em:
Resposta
A área da região entre as curvas
e
é
unidades de área.