Calcule as áreas entre as curvas:
(d) Encontre a área da região entre as curvas y = x^2 - 4x + 3 e y = 2x - 1;

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a área entre duas curvas: e . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente da integração para encontrar áreas entre curvas. Pra resolver isso, a gente vai precisar achar os pontos onde essas duas curvas se encontram e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando . Então, vamos igualar as duas equações:

Passo 3

Vamos resolver essa equação pra achar os valores de . Subtraindo de ambos os lados, fica:
Essa é uma equação quadrática na forma . A solução pra isso é usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 4

Aplicando os valores , e :
Simplificando a raiz:
Então:
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora que temos os valores de , vamos identificar qual função está por cima no intervalo. Vamos testar um valor entre e , por exemplo, :
á
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 6

A área entre as curvas é a integral da função de cima menos a função de baixo, de a :
Á
Simplificando dentro da integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar :

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
Á
Esse cálculo envolve expandir os termos e simplificar, mas, no final, a área resulta em:

Resposta

A área da região entre as curvas e é unidades de área.

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