Calcule as integrais:
integral e^-theta cos (2 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de em relação a . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada integração por partes ou reconhecer uma forma padrão de integração que combina exponenciais com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula padrão para integrar uma função do tipo integral e^atheta cos(btheta) , dtheta = e^atheta cdot a cos(btheta) + b sin(btheta)a^2 + b^2 + C . A integral geral é:
Aqui, e são constantes, e é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é a = -1 e b = 2 . Então, podemos identificar que:

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula padrão, temos:
integral e^-theta cos(2theta) , dtheta = e^-theta cdot (-1) cos(2theta) + 2 sin(2theta)(-1)^2 + 2^2 + C

Passo 5

Calculando o denominador:
(-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5
Então, a expressão fica:
e^-theta cdot -cos(2theta) + 2 sin(2theta)5 + C

Resposta

A integral de integral e^-theta cos(2theta) , dtheta = e^-theta ( -cos(2theta) + 2 sin(2theta) )5 + C em relação a é:

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