Calcule as áreas definidas nos intervalos:
Área entre \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin (\mathrm{x}) e o eixo x em 0, \pi

Passo 1

O enunciado pede a área entre a curva \sin(x) e o eixo x no intervalo [0,\pi]. O conteúdo aqui é cálculo de área sob curva usando integrais definidas. Quando a função é não-negativa em [a,b], a área é dada por
A = \int_{a}^{b} f(x)\,dx.

Passo 2

Verificamos o sinal de \sin(x) em [0,\pi]. Como \sin(x)\ge0 nesse intervalo, basta calcular
A = \int_{0}^{\pi} \sin(x)\,dx.

Passo 3

Para resolver a integral, encontramos uma antiderivada de \sin(x). Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(x)\bigr)=\sin(x),
logo podemos usar F(x)=-\cos(x).

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
A = F(\pi)-F(0) = \bigl[-\cos(\pi)\bigr] - \bigl[-\cos(0)\bigr] = -(-1)-[-(1)] = 1 + 1 = 2.

Resposta

A área entre \sin(x) e o eixo x em [0,\pi] é 2.

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