Resolva utilizando os métodos de integração adequados
\mathrm{j}-\int \mathrm{x} \cdot \arctan (\mathrm{x}) \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva
\int x\,\arctan(x)\,\mathrm{d}x.
O conteúdo necessário é o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u.

Passo 2

Escolhemos as partes de forma conveniente:
u = \arctan(x), \quad \mathrm{d}v = x\,\mathrm{d}x.
Então
\mathrm{d}u = \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x, \quad v = \int x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}.
Aplicando a fórmula de partes:
\int x\,\arctan(x)\,\mathrm{d}x = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u = \frac{x^2}{2}\,\arctan(x) - \int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Convém simplificar o segundo integral:
\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2},
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\int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int\Bigl(1 - \frac{1}{1+x^2}\Bigr)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\Bigl(x - \arctan(x)\Bigr).

Passo 4

Substituindo de volta:
\int x\,\arctan(x)\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}\,\arctan(x) - \frac{1}{2}\bigl(x - \arctan(x)\bigr) + C = \frac{x^2}{2}\,\arctan(x) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\arctan(x) + C.
Agrupando termos com \arctan(x):
\int x\,\arctan(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1+x^2}{2}\,\arctan(x) - \frac{x}{2} + C.

Resposta

\int x\,\arctan(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1+x^2}{2}\,\arctan(x) - \frac{x}{2} + C.

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