- Considere o problema de valor inicial
Suponha que
.
a. Resolva o problema de valor inicial.
b. Escreva a solução na forma
. Determine
em função de
e
.
c. Investigue a dependência de
no coeficiente de amortecimento
para valores fixos dos outros parâmetros.
a. Resolva o problema de valor inicial.
b. Escreva a solução na forma
c. Investigue a dependência de
Passo 1
O enunciado trata do problema de valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem com amortecimento
sob a condição de subamortecimento
. Queremos
- achar a solução geral e ajustá-la às condições iniciais
, ; - escrever essa solução na forma
e determinar
em função de
;
3) estudar como varia quando
aumenta, mantendo
fixos.
3) estudar como
Passo 2
Escrevemos a equação característica
onde definimos
Logo a solução geral é
Passo 3
Impondo as condições iniciais:
e
Em
:
Passo 4
Para reescrever em forma de fase, lembramos que
com
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Para valores fixos de
, note que
quando
. Como
tem um termo
, ele cresce sem limite à medida que
se aproxima do amortecimento crítico
. No outro extremo, para
, temos
e
mostrando que o amortecimento faz
aumentar de seu valor não amortecido até divergir no limite crítico.
Resposta
O valor de
cresce com
e tende a infinito quando
.