1. Considere o problema de valor inicial
m u^{\prime \prime}+\gamma u^{\prime}+k u=0, \quad u(0)=u_{0}, \quad u^{\prime}(0)=v_{0} .
Suponha que r^{2}<4 k m.
a. Resolva o problema de valor inicial.
b. Escreva a solução na forma u(t)=R e^{-\gamma t(2 m)} \cos (\mu t-\delta). Determine R em função de m, \gamma, k, u_{0} e v_{0}.
c. Investigue a dependência de R no coeficiente de amortecimento y para valores fixos dos outros parâmetros.

Passo 1

O enunciado trata do problema de valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem com amortecimento
m\,u''+\gamma\,u'+k\,u=0,
sob a condição de subamortecimento \gamma^2<4km. Queremos
  1. achar a solução geral e ajustá-la às condições iniciais u(0)=u_0, u'(0)=v_0;
  2. escrever essa solução na forma
u(t)=R\,e^{-\frac{\gamma}{2m}t}\cos\bigl(\mu t-\delta\bigr)
e determinar R em função de m,\gamma,k,u_0,v_0;
3) estudar como R varia quando \gamma aumenta, mantendo m,k,u_0,v_0 fixos.

Passo 2

Escrevemos a equação característica
m\,r^2+\gamma\,r+k=0 \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-4mk}}{2m} =\,-\frac{\gamma}{2m}\pm i\,\mu,
onde definimos
\mu=\frac{\sqrt{4mk-\gamma^2}}{2m}.
Logo a solução geral é
u(t)=e^{-\frac{\gamma}{2m}t}\bigl(A\cos(\mu t)+B\sin(\mu t)\bigr).

Passo 3

Impondo as condições iniciais:
u(0)=A=u_0,
e
u'(t)=e^{-\frac{\gamma}{2m}t}\Bigl[-\frac{\gamma}{2m}(A\cos\mu t+B\sin\mu t) +\bigl(-A\mu\sin\mu t+B\mu\cos\mu t\bigr)\Bigr].
Em t=0:
u'(0)=-\frac{\gamma}{2m}A+\mu B=v_0 \quad\Longrightarrow\quad B=\frac{v_0+\frac{\gamma}{2m}u_0}{\mu}.

Passo 4

Para reescrever em forma de fase, lembramos que
A\cos(\mu t)+B\sin(\mu t) =R\cos(\mu t-\delta),
com
R=\sqrt{A^2+B^2}, \quad \delta=\arctan\!\Bigl(\tfrac{B}{A}\Bigr).
Substituindo A=u_0 e B=(v_0+\tfrac{\gamma}{2m}u_0)/\mu, obtemos
\boxed{ R =\sqrt{ u_0^2 +\Bigl(\tfrac{v_0+\tfrac{\gamma}{2m}u_0}{\mu}\Bigr)^2 } } \quad\text{com}\quad \mu=\frac{\sqrt{4mk-\gamma^2}}{2m}.

Passo 5

Para valores fixos de m,k,u_0,v_0, note que \mu\to0 quando \gamma\to2\sqrt{mk}. Como R tem um termo \propto1/\mu, ele cresce sem limite à medida que \gamma se aproxima do amortecimento crítico 2\sqrt{mk}. No outro extremo, para \gamma=0, temos \mu=\sqrt{k/m} e
R(0)=\sqrt{u_0^2+\Bigl(\tfrac{v_0}{\sqrt{k/m}}\Bigr)^2},
mostrando que o amortecimento faz R aumentar de seu valor não amortecido até divergir no limite crítico.

Resposta

u(t) =e^{-\frac{\gamma}{2m}t} \Bigl(u_0\cos(\mu t) +\tfrac{v_0+\frac{\gamma}{2m}u_0}{\mu}\sin(\mu t)\Bigr),
u(t)=R\,e^{-\frac{\gamma}{2m}t}\cos(\mu t-\delta), \quad R=\sqrt{u_0^2+\Bigl(\tfrac{v_0+\tfrac{\gamma}{2m}u_0}{\mu}\Bigr)^2}, \quad \mu=\frac{\sqrt{4mk-\gamma^2}}{2m}.
O valor de R cresce com \gamma e tende a infinito quando \gamma\to2\sqrt{mk}.

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