Questão 4. Considere T o sólido no primeiro octante delimitado por z=x^{2}, y=x, z=4, e y=0. Esboçe por separado o sólido T e em cada caso, esboçe a região de integração escolhida para calcular \iiint_{T} x y d V na ordem pedida. Em cada caso monte a integral pedida mas não resolva todas, resolva totalmente a intergral tripla da parte b)
a) dzdydx.
b) dxdzdy.
c) dydxdz.

Passo 1

O enunciado pede a integral
\iiint_{T} x\,y\,dV
onde T é o sólido no primeiro octante limitado por
z = x^2,\quad y = x,\quad z = 4,\quad y = 0.
O conteúdo é integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para cada ordem de integração precisamos projetar T num plano coordenado e determinar os limites adequados.

Passo 2

Ordem dz\,dy\,dx.
Para um x fixo entre 0 e 2, y varia de 0 até x (pois 0\le y\le x), e para cada (x,y) o z varia de x^2 até 4. Logo a integral é
\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x}\int_{z=x^2}^{4} x\,y \,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Ordem dx\,dz\,dy.
Projeção no plano yz: as condições são
0\le y\le x,\quad x^2\le z\le 4,\quad x\ge 0,
o que equivale a
0\le y\le 2,\quad y^2\le z\le 4
e, para cada (y,z), temos y\le x\le \sqrt z. A integral fica
\int_{y=0}^{2}\int_{z=y^2}^{4}\int_{x=y}^{\sqrt z} x\,y \,dx\,dz\,dy.
Agora resolvemos totalmente:
\int_{x=y}^{\sqrt z} x\,y\,dx = y\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{x=y}^{x=\sqrt z} = y\;\frac{z - y^2}{2}.
Substituindo,
\int_{y=0}^{2}\int_{z=y^2}^{4} \frac{y\,(z - y^2)}{2}\,dz\,dy =\frac12\int_{0}^{2}y\!\int_{y^2}^{4}(z - y^2)\,dz\,dy.
Calculemos a integral interna em z:
\int_{y^2}^{4}(z - y^2)\,dz =\Bigl[\tfrac{z^2}{2}-y^2\,z\Bigr]_{y^2}^{4} =(8-4y^2)-\Bigl(\tfrac{y^4}{2}-y^4\Bigr) =8-4y^2+\tfrac{y^4}{2}.
Logo
I =\frac12\int_{0}^{2} \bigl(8y-4y^3+\tfrac12y^5\bigr)\,dy =\frac12\Bigl[4y^2-y^4+\tfrac{y^6}{12}\Bigr]_{0}^{2} =\frac12\Bigl(16-16+\tfrac{64}{12}\Bigr) =\frac{8}{3}.

Passo 4

Ordem dy\,dx\,dz.
Projete em xz: sabe-se que 0\le x\le 2, para cada x temos x^2\le z\le 4, e para cada (x,z), 0\le y\le x. Para usar dy\,dx\,dz invertemos a projeção em xz:
0\le z\le 4,\quad 0\le x\le \sqrt z,\quad 0\le y\le x.
Assim a integral é
\int_{z=0}^{4}\int_{x=0}^{\sqrt z}\int_{y=0}^{x} x\,y \,dy\,dx\,dz.

Resposta

a) \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x}\int_{z=x^2}^{4} x\,y \,dz\,dy\,dx.
b) \int_{y=0}^{2}\int_{z=y^2}^{4}\int_{x=y}^{\sqrt z} x\,y \,dx\,dz\,dy =\frac{8}{3}.
c) \int_{z=0}^{4}\int_{x=0}^{\sqrt z}\int_{y=0}^{x} x\,y \,dy\,dx\,dz.

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