Questão 4. Considere T o sólido no primeiro octante delimitado por
, e
. Esboçe por separado o sólido T e em cada caso, esboçe a região de integração escolhida para calcular
na ordem pedida. Em cada caso monte a integral pedida mas não resolva todas, resolva totalmente a intergral tripla da parte b)
a) dzdydx.
b) dxdzdy.
c) dydxdz.
a) dzdydx.
b) dxdzdy.
c) dydxdz.
Passo 1
O enunciado pede a integral
onde
é o sólido no primeiro octante limitado por
O conteúdo é integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para cada ordem de integração precisamos projetar
num plano coordenado e determinar os limites adequados.
Passo 2
Ordem
.
Para um fixo entre
e
,
varia de
até
(pois
), e para cada
o
varia de
até
. Logo a integral é
Para um
Passo 3
Ordem
.
Projeção no plano : as condições são
Projeção no plano
o que equivale a
e, para cada
, temos
. A integral fica
Agora resolvemos totalmente:
Substituindo,
Calculemos a integral interna em
:
Logo
Passo 4
Ordem
.
Projete em : sabe-se que
, para cada
temos
, e para cada
,
. Para usar
invertemos a projeção em
:
Projete em
Assim a integral é
Resposta
a)
b)
c)