Calcule as áreas delimitadas pelas curvas:
y=-x^{2}+3 x e y=2 x^{3}-x^{2}-5 x

Passo 1

O enunciado pede a área entre as curvas
y_1(x) = -x^{2} + 3x
e
y_2(x) = 2x^{3} - x^{2} - 5x.
O conteúdo é “área entre curvas”: primeiro a gente encontra os pontos de interseção, depois determina quem está acima em cada intervalo e, por fim, integra a diferença.

Passo 2

Vamos achar os pontos em que y_1(x)=y_2(x). Igualando:
-x^{2} + 3x = 2x^{3} - x^{2} - 5x
0 = 2x^{3} - x^{2} - 5x + x^{2} - 3x = 2x^{3} - 8x = 2x\,(x^{2}-4) = 2x\,(x-2)\,(x+2).
Logo, as interseções estão em
x = -2,\quad x = 0,\quad x = 2.

Passo 3

Precisamos ver qual curva fica em cima em cada intervalo.
Para x\in[-2,0], tomo x=-1:
y_1(-1) = -(-1)^{2} +3(-1) = -1 -3 = -4,
y_2(-1) = 2(-1)^{3} -(-1)^{2} -5(-1) = -2 -1 +5 = 2,
logo y_2>y_1. A área em [-2,0] é
\int_{-2}^{0} \bigl(y_2(x) - y_1(x)\bigr)\,dx.
Para x\in[0,2], tomo x=1:
y_1(1)= -1 +3 = 2,\quad y_2(1)= 2 -1 -5 = -4,
logo y_1>y_2. A área em [0,2] é
\int_{0}^{2} \bigl(y_1(x) - y_2(x)\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculemos cada integral:
Em [-2,0]:
y_2 - y_1 = \bigl(2x^{3}-x^{2}-5x\bigr) - \bigl(-x^{2}+3x\bigr) = 2x^{3} -8x.
\int_{-2}^{0} (2x^{3}-8x)\,dx = \left[\frac{x^{4}}{2} -4x^{2}\right]_{-2}^{0} = \bigl(0-0\bigr)\;-\;\bigl(8-16\bigr) = 8.
Em [0,2]:
y_1 - y_2 = \bigl(-x^{2}+3x\bigr) - \bigl(2x^{3}-x^{2}-5x\bigr) = -2x^{3}+8x.
\int_{0}^{2}(-2x^{3}+8x)\,dx = \left[-\frac{x^{4}}{2} +4x^{2}\right]_{0}^{2} = \bigl(-8+16\bigr) - 0 = 8.

Passo 5

Somando as duas áreas, obtemos
8 + 8 = 16.

Resposta

A área total delimitada pelas curvas é 16.

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