Calcule as integrais:
\int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}.
O conteúdo aqui é técnica de substituição simples para transformar o denominador em uma forma quadrática em u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x},
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du = e^{x}dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{u}.
Além disso, note que
e^{x}+e^{-x} = u + \frac{1}{u} = \frac{u^{2}+1}{u}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle\int\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}} obtemos
\int \frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx = \int \frac{1}{\frac{u^{2}+1}{u}}\;\frac{du}{u} = \int \frac{u}{u^{2}+1}\;\frac{du}{u} = \int \frac{du}{u^{2}+1}.

Passo 4

A integral padrão
\int \frac{du}{u^{2}+1} = \arctan(u) + C.

Resposta

\boxed{\arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C.}

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