Calcule as áreas delimitadas pelas curvas:
y=x^{2}-4 e y=-x^{2}-2 x

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas
y = x^{2} - 4
e
y = -x^{2} - 2x.
O conteúdo envolve cálculo de área entre curvas via integração: vamos achar primeiro os pontos de interseção, depois integrar a diferença da função de cima menos a de baixo.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
x^{2} - 4 = -x^{2} - 2x
e obtemos
2x^{2} + 2x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + x - 2 = 0.
Resolvendo por fórmula de Bhaskara,
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2},
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x = 1 \quad\text{ou}\quad x = -2.

Passo 3

Entre x=-2 e x=1, a curva superior é
y_{\text{sup}} = -x^{2} - 2x
e a inferior é
y_{\text{inf}} = x^{2} - 4.
Assim, a área buscada é
A = \int_{-2}^{1} \bigl[y_{\text{sup}} - y_{\text{inf}}\bigr]\,dx = \int_{-2}^{1} \bigl((-x^{2}-2x) - (x^{2}-4)\bigr)\,dx = \int_{-2}^{1} \bigl(-2x^{2}-2x+4\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a primitiva de f(x) = -2x^{2}-2x+4:
F(x) = \int \bigl(-2x^{2}-2x+4\bigr)\,dx = -\frac{2}{3}x^{3} - x^{2} + 4x.
Agora avaliamos de -2 a 1:
F(1) = -\tfrac{2}{3}\cdot1^{3} - 1^{2} + 4\cdot1 = -\tfrac{2}{3} -1 +4 = \tfrac{7}{3},
F(-2) = -\tfrac{2}{3}\cdot(-2)^{3} - (-2)^{2} + 4\cdot(-2) = -\tfrac{2}{3}\cdot(-8) - 4 -8 = \tfrac{16}{3} -12 = -\tfrac{20}{3}.
Portanto,
A = F(1) - F(-2) = \tfrac{7}{3} - \bigl(-\tfrac{20}{3}\bigr) = \tfrac{27}{3} = 9.

Resposta

A área da região delimitada pelas duas curvas é 9.

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