Calcule as áreas das regiões delimitadas pelos conjuntos abaixo
A é o conjunto dos pontos compreendidos entre as funções y=2^{x}, y=2^{-x} e y=4.

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto A limitado pelas curvas y=2^x, y=2^{-x} e a reta horizontal y=4. O conteúdo é cálculo de área entre curvas em coordenadas cartesianas: vamos achar os pontos de interseção, esboçar o domínio e depois montar integrais.

Passo 2

Determinamos os pontos de interseção das curvas:
2^x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x=2,
2^{-x} = 4 \quad\Longrightarrow\quad -x=2 \quad\Longrightarrow\quad x=-2,
e ainda
2^x = 2^{-x} \quad\Longrightarrow\quad x=0,\quad y=1.
Logo o domínio é o trecho fechado por esses três pontos (-2,4), (2,4) e (0,1).

Passo 3

Para cada x\in[-2,2], a reta y=4 é o limite superior. O limite inferior é
y = \begin{cases} 2^{-x},& x\in[-2,0],\\\\ 2^x,& x\in[0,2]. \end{cases}
Assim a área é
A =\int_{-2}^{0}\bigl(4 - 2^{-x}\bigr)\,dx +\int_{0}^{2}\bigl(4 - 2^x\bigr)\,dx.

Passo 4

Pela simetria entre os dois integrais,
A =2\int_{0}^{2}\bigl(4 - 2^x\bigr)\,dx =2\Bigl[\int_{0}^{2}4\,dx - \int_{0}^{2}2^x\,dx\Bigr].
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2}4\,dx = 4\cdot2 = 8,
\int_{0}^{2}2^x\,dx =\frac{2^x}{\ln2}\Bigm|_{0}^{2} =\frac{4-1}{\ln2} =\frac{3}{\ln2}.
Portanto
A =2\Bigl(8 - \frac{3}{\ln2}\Bigr) =16 - \frac{6}{\ln2}.

Resposta

16 - \dfrac{6}{\ln2}

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