Questão 3. Resolva os ítens a seguir:
a) Encontre o valor d e \int x \cdot e^{x} d x.
b) Utilize o item anterior para encontrar um valor para \int x^{2} e^{x} d x. Como calcularia o valor d e \int x^{3} e^{x} d x ?
c) Utilize o padrão encontrado nos itens anteriores para encontrar o valor de \int_{0}^{1} x^{2025} e^{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integrais do tipo
\displaystyle \int x^n e^x\,dx
usando integração por partes e, depois, usar o padrão obtido para avaliar
\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2025} e^x\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de integração por partes e a iteração dessa técnica para potências de x multiplicadas por e^x.

Passo 2

Calcular
\displaystyle \int x e^x\,dx
por partes. Seja
u = x,\quad dv = e^x\,dx
logo
du = dx,\quad v = e^x.
Pela fórmula
\displaystyle \int u\,dv = u\,v - \int v\,du, temos
\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C.
Portanto
\boxed{\int x e^x\,dx = e^x(x - 1) + C.}

Passo 3

Calcular
\displaystyle \int x^2 e^x\,dx
por partes, escolhendo
u = x^2,\quad dv = e^x\,dx\implies du=2x\,dx,\;v=e^x.
Assim
\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - \int 2x e^x\,dx.
Do resultado do passo 2, \displaystyle \int x e^x\,dx = e^x(x-1), obtemos
\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x -2\,e^x(x-1) + C = e^x\bigl(x^2 -2x +2\bigr)+C.
Para x^3e^x, repetir duas vezes por partes dá
\int x^3 e^x\,dx = e^x\bigl(x^3 -3x^2 +6x -6\bigr)+C.

Passo 4

Observando os resultados, conclui-se o padrão geral:
\int x^n e^x\,dx = e^x\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!}\,x^{\,n-k}+C.

Passo 5

Aplicar o padrão ao integral definido
\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2025} e^x\,dx.
Usando
F(x)=e^x\sum_{k=0}^{2025}(-1)^k\frac{2025!}{(2025-k)!}\,x^{\,2025-k},
temos
\int_{0}^{1} x^{2025}e^x\,dx =F(1)-F(0).
Em x=1:
F(1)=e\sum_{k=0}^{2025}(-1)^k\frac{2025!}{(2025-k)!}.
Em x=0, só o termo k=2025 sobrevive, pois x^{2025-k}=0 exceto quando 2025-k=0:
F(0)=(-1)^{2025}\,2025!.
Logo
\int_{0}^{1} x^{2025}e^x\,dx =e\sum_{k=0}^{2025}(-1)^k\frac{2025!}{(2025-k)!} \;-\;(-1)^{2025}2025!.

Resposta

a) \displaystyle \int x e^x\,dx = e^x(x - 1)+C.
b) \displaystyle \int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2 -2x +2)+C.
Para x^3: \displaystyle \int x^3 e^x\,dx = e^x(x^3 -3x^2 +6x -6)+C.
c) \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2025}e^x\,dx =e\sum_{k=0}^{2025}(-1)^k\frac{2025!}{(2025-k)!} -\;(-1)^{2025}2025!.

Exercícios relacionados