Questão 3. Resolva os ítens a seguir:
a) Encontre o valor
.
b) Utilize o item anterior para encontrar um valor para
. Como calcularia o valor
?
c) Utilize o padrão encontrado nos itens anteriores para encontrar o valor de
.
a) Encontre o valor
b) Utilize o item anterior para encontrar um valor para
c) Utilize o padrão encontrado nos itens anteriores para encontrar o valor de
Passo 1
O enunciado pede para calcular integrais do tipo
usando integração por partes e, depois, usar o padrão obtido para avaliar
.
O conteúdo principal é a técnica de integração por partes e a iteração dessa técnica para potências de multiplicadas por
.
usando integração por partes e, depois, usar o padrão obtido para avaliar
O conteúdo principal é a técnica de integração por partes e a iteração dessa técnica para potências de
Passo 2
Calcular
por partes. Seja
por partes. Seja
logo
Pela fórmula
, temos
Portanto
Passo 3
Calcular
por partes, escolhendo
por partes, escolhendo
Assim
Do resultado do passo 2,
, obtemos
Para
, repetir duas vezes por partes dá
Passo 4
Observando os resultados, conclui-se o padrão geral:
Passo 5
Aplicar o padrão ao integral definido
.
Usando
Usando
temos
Em
:
Em
, só o termo
sobrevive, pois
exceto quando
:
Logo
Resposta
a)
b)
Para :
c)
b)
Para
c)