Calcule o valor das integrais abaixo:
\int \frac{1}{1+2025 x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{1 + 2025\,x^2}\,dx.
O conteúdo necessário é a fórmula
\int \frac{1}{1+u^2}\,du = \arctan(u) + C,
além de uma simples substituição para colocar o denominador no formato 1+u^2.

Passo 2

Observe que
2025 = 45^2,
então podemos reescrever a integral como
\int \frac{1}{1 + (45x)^2}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 45x \quad\Longrightarrow\quad du = 45\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{45}.
Então
\int \frac{1}{1 + (45x)^2}\,dx = \int \frac{1}{1 + u^2}\;\frac{du}{45} = \frac{1}{45} \int \frac{1}{1 + u^2}\,du = \frac{1}{45}\,\arctan(u) + C.

Resposta

\frac{1}{45}\,\arctan\bigl(45x\bigr) + C.

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