[Método dos coeficientes a determinar para encontrar y_{p}(t) ] Resolva o pvi
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}(t)-3 y^{\prime}(t)+2 y(t) & \equiv 8 e^{3 t} \\\ y(0) & =1 \\\ y^{\prime}(0) & =2 \end{aligned}\right.
Use como Tentativa para ser uma solução particular y_{p}(t)=A e^{3 t} e, ao substituir na equação diferencial, encontre o coeficiente A. Depois, considere y_{g n h}(t)=y_{g h}(t)+y_{p}(t)=c_{1} y_{h 1}(t)+ c_{2} y_{h 2}(t)+y_{p}(t) e encontre os coeficientes c_{1} e c_{2} impondo as condições iniciais.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y''(t)-3y'(t)+2y(t)=8e^{3t},\quad y(0)=1,\;y'(0)=2
usando o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular e, em seguida, somar à solução geral da homogênea. Vamos precisar do polinômio característico para a parte homogênea e do palpite y_{p}(t)=A e^{3t}.

Passo 2

Para a equação homogênea
y''-3y'+2y=0
o polinômio característico é
r^{2}-3r+2=0,
cuja solução é r=1 e r=2. Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{2t}.

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é 8e^{3t} e 3 não é raiz do característico, usamos o palpite
y_{p}(t)=A e^{3t}
com A constante a determinar.

Passo 4

Calculamos
y_{p}'=3A e^{3t},\quad y_{p}''=9A e^{3t},
e substituímos em y''-3y'+2y:
9A e^{3t}-3\cdot(3A e^{3t})+2\cdot(A e^{3t}) =(9A-9A+2A)e^{3t}=2A e^{3t}.
Para anular a diferença temos 2A e^{3t}=8e^{3t}, ou seja
2A=8\quad\Longrightarrow\quad A=4.

Passo 5

A solução geral da não-homogênea é
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{2t}+4e^{3t}.

Passo 6

Impondo as condições iniciais:
em t=0,
y(0)=c_{1}+c_{2}+4=1 \;\Longrightarrow\; c_{1}+c_{2}=-3,
e
y'(t)=c_{1}e^{t}+2c_{2}e^{2t}+12e^{3t} \;\Longrightarrow\; y'(0)=c_{1}+2c_{2}+12=2 \;\Longrightarrow\; c_{1}+2c_{2}=-10.
Assim obtemos o sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=-3,\\\ c_{1}+2c_{2}=-10. \end{cases}

Passo 7

Resolvendo
(c_{1}+2c_{2})-(c_{1}+c_{2})=-10-(-3) \;\Longrightarrow\; c_{2}=-7,
e então
c_{1}=-3-c_{2}=-3-(-7)=4.

Passo 8

Substituindo c_{1}=4 e c_{2}=-7 na solução geral, obtemos
y(t)=4e^{t}-7e^{2t}+4e^{3t}.

Resposta

y(t)=4e^{t}-7e^{2t}+4e^{3t}.

Exercícios relacionados