Um radiotelescópio tem a forma de um paraboloide de revolução com distância focal p e diâmetro de base 2 a. Obtenha a expressão da área de superfície disponível para coletar ondas de rádio.

Passo 1

O enunciado pede a área de superfície lateral de um paraboloide de revolução cujo foco fica a uma distância p do vértice e cuja base tem diâmetro 2a. O conteúdo envolvido é o cálculo de área de superfície de revolução, usando a fórmula
S \;=\; 2\pi \int_{r=0}^{r=a} r \,\sqrt{1+\Bigl(\frac{dz}{dr}\Bigr)^{2}}\;dr,
onde z=z(r) é o perfil da parábola geratriz.

Passo 2

Escrevemos a parábola com foco em z=p. A equação no sistema de revolução é
z \;=\;\frac{r^{2}}{4p},
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\frac{dz}{dr} \;=\;\frac{r}{2p}.

Passo 3

Substituímos em S:
S \;=\;2\pi \int_{0}^{a}r\,\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{r}{2p}\Bigr)^{2}}\;dr \;=\;2\pi \int_{0}^{a}r\,\sqrt{1+\frac{r^{2}}{4p^{2}}}\;dr.

Passo 4

Fazendo a substituição
u = 1+\frac{r^{2}}{4p^{2}}, \quad du = \frac{r}{2p^{2}}\,dr \quad\Longrightarrow\quad r\,dr = 2p^{2}\,du,
os limites vão de u(0)=1 até u(a)=1+\tfrac{a^{2}}{4p^{2}}. Assim
S = 2\pi \int_{u=1}^{1+\frac{a^{2}}{4p^{2}}} 2p^{2}\,\sqrt{u}\;du =4\pi p^{2}\,\int_{1}^{1+\frac{a^{2}}{4p^{2}}}\!u^{1/2}\,du = \frac{8\pi p^{2}}{3}\Bigl[\bigl(1+\tfrac{a^{2}}{4p^{2}}\bigr)^{3/2}-1\Bigr].

Passo 5

Para escrever de modo mais compacto, note que
\displaystyle\bigl(1+\tfrac{a^{2}}{4p^{2}}\bigr)^{3/2} =\frac{(\,4p^{2}+a^{2}\,)^{3/2}}{8p^{3}}. Logo
S =\frac{8\pi p^{2}}{3}\Bigl[\frac{(\,4p^{2}+a^{2}\,)^{3/2}}{8p^{3}}-1\Bigr] =\frac{\pi}{3p}\Bigl[(\,4p^{2}+a^{2}\,)^{3/2}-8p^{3}\Bigr].

Resposta

\boxed{S \;=\;\frac{\pi}{3p}\Bigl[\bigl(4p^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}-8p^{3}\Bigr].}

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