1. A região plana limitada pela curva x y=1 e pela reta 2 x+2 y=5 é rotacionada em torno dessa reta para gerar um sólido de revolução. Calcule o volume desse sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno da reta \;x+y=\tfrac52\; a região do primeiro quadrante limitada pela hipérbole \;xy=1\; e pela reta \;x+y=\tfrac52. Vamos usar o Teorema de Pappus, que diz que o volume é
V = A \cdot (2\pi d),
onde A é a área da região e d é a distância do centróide dessa região à reta de rotação. Precisamos então calcular:
  1. A área A.
  2. As coordenadas do centróide (\bar x,\bar y).
  3. A distância d.
  4. Aplicar Pappus para obter V.

Passo 2

Cálculo da área
A região é descrita por
y_{\text{sup}}(x)=\tfrac52 - x, \quad y_{\text{inf}}(x)=\frac1x,
para x de \tfrac12 até 2 (soluções de x+\tfrac1x=\tfrac52). Logo
A = \int_{1/2}^{2} \bigl[y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x)\bigr]\,dx = \int_{1/2}^{2}\Bigl(\tfrac52 - x - \tfrac1x\Bigr)\,dx.
Calculando,
\int\Bigl(\tfrac52 -x -\tfrac1x\Bigr)dx = \tfrac52 x - \tfrac{x^2}{2} - \ln x
e, avaliando de \tfrac12 a 2,
A = \Bigl[5-2-\ln2\Bigr] - \Bigl[\tfrac54-\tfrac18 +\ln2\Bigr] = \frac{15}{8} \;-\;2\ln2.

Passo 3

Cálculo do centróide
Para regiões entre curvas em x\in[a,b]:
\bar x = \frac{1}{A}\int_a^b x\bigl[f(x)-g(x)\bigr]dx, \quad \bar y = \frac{1}{2A}\int_a^b\bigl[f(x)^2 - g(x)^2\bigr]dx.
Aqui f(x)=\tfrac52 - x, g(x)=1/x. Após cálculo das integrais, obtém-se
\bar x \;=\;\bar y \;=\;\frac{9}{16\,A}.

Passo 4

Distância do centróide à reta x+y-\tfrac52=0:
d = \frac{\bigl|\bar x+\bar y-\tfrac52\bigr|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{\bigl|2\bar x -\tfrac52\bigr|}{\sqrt2} = \frac{\bigl|\tfrac{9}{8A}-\tfrac52\bigr|}{\sqrt2}.
Usando A=\tfrac{15}{8}-2\ln2, simplifica-se para
d = \frac{\displaystyle \tfrac52 - \frac{9}{15-16\ln2}}{\sqrt2}.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Pappus:
V = A\;\bigl(2\pi d\bigr) =2\pi\,A\,\frac{\displaystyle \tfrac52 - \frac{9}{15-16\ln2}}{\sqrt2}
e, após simplificar,
V = \frac{\pi\,(57 \;-\;80\ln2)}{8\sqrt2}.

Resposta

V = \frac{\pi\,(57 \;-\;80\ln2)}{8\sqrt2}.

Exercícios relacionados