Calcule as áreas das regiões limitadas pelas funções
y=x^2+1, y=x, x=0 e x=5

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 + 1, y = x e pelas retas verticais x = 0 e x = 5. Trata-se de um problema de área entre curvas, onde identificamos qual função está acima da outra no intervalo dado e integramos a diferença.

Passo 2

Para saber qual gráfico está acima, resolvemos as possíveis interseções entre y = x^2 + 1 e y = x:
x^2 + 1 = x ;Longrightarrow; x^2 - x + 1 = 0
O discriminante é De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot1 = -3<0, logo não há raízes reais. Basta avaliar num ponto, por exemplo em x=0:
yparábola=1á e yreta=0, ou seja, em todo [0,5] temos x^2+1> x.

Passo 3

Como y = x^2+1 é a função superior e y = x a inferior em [0,5], a área vale
A = integral0^5l[(x^2 + 1) - xr];dx

Passo 4

Calculando o integral:
integral0^5(x^2 - x + 1),dx = [x^33 - x^22 + x]0^5 = 1253 - 252 + 5 = 2056

Resposta

A = 2056.

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