Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x 4-2(x-4)^4=-infty

Passo 1

O enunciado quer mostrar que
limxto4 -2(x-4)^4 = -infty
Em outras palavras, conforme x se aproxima de 4 (mas xneq4), o valor de -2/(x-4)^4 fica arbitrariamente negativo.

Passo 2

A definição de limite infinito diz: limxto4f(x)=-infty significa que, para todo M>0, existe de<a>0 tal que
0<|x-4|<de<a Longrightarrow f(x)<-M
Aqui f(x)=-dfrac2(x-4)^4. Precisamos, dado um M>0, achar de<a que garanta -2/(x-4)^4 < -M.

Passo 3

Queremos
-2(x-4)^4 < -M ;Long<=ftrightarrow; 2(x-4)^4 > M
Isso equivale a
(x-4)^4 < 2M
Logo basta exigir |x-4|<l(2/Mr)^1/4.

Passo 4

Dado M>0, escolha
de<a = l(2/Mr)^1/4
Então, se 0<|x-4|<de<a, segue que
(x-4)^4 < de<a^4 = 2M Longrightarrow 2(x-4)^4>M Longrightarrow -2(x-4)^4 < -M
Isso satisfaz a definição de limite infinito negativo.

Resposta

limxto4 -2(x-4)^4 = -infty

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