Questão 9. Avalie a integral:
integral0^3 d xraiz9+x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^3 dxraiz9+x^2
O conteúdo é integração de funções do tipo 1raiza^2+x^2. Vamos usar substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 3tan(theta),
temos
dx = 3sec^2(theta),dtheta e raiz9 + x^2 = raiz9 + 9tan^2(theta) = 3sec(theta)
Além disso os limites mudam para
theta(0)=0 e theta(3)=arctan(1)=pi/4.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral0^3 dxraiz9 + x^2 = integral0^pi/4 3sec^2(theta)3sec(theta),dtheta = integral0^pi/4 sec(theta),dtheta

Passo 4

O antiderivado de sec(theta) é
integral sec(theta),dtheta = lnl|sec(theta) + tan(theta)r| + C
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integral0^pi/4 sec(theta),dtheta = lnl|sec(theta) + tan(theta)r||0^pi/4

Passo 5

Calculando nos limites:
secl(tfracpi4r) + tanl(tfracpi4r) = raiz2 + 1, sec(0) + tan(0) = 1
Portanto
lnl|raiz2 + 1r| - ln(1) = lnl(raiz2 + 1r)

Resposta

lnl(raiz2 + 1r)

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