Prove usando a definição os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite infinito, que
O conteúdo é a definição formal de limite que tende a
: mostrar que para todo
existe
tal que, sempre que
, temos
.
Passo 2
Definimos
Como
, fica
o que mostra que
é sempre negativo para
.
Passo 3
Seja um número arbitrário
. Queremos achar
tal que
Multiplicando a desigualdade por
(e invertendo o sinal), obtemos
Passo 4
A última desigualdade equivale a
isto é, basta ter
Passo 5
Para garantir também que
e denominar o denominador, escolhemos
Então, sempre que
, temos simultaneamente
(para manter o denominador não nulo) e
, o que implica
e, por consequência,
.
Passo 6
Pela definição de limite que tende a
, concluímos que