Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x -3-4(3 x+9)^2=-infty

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite infinito, que
limxto -3-4(3x+9)^2=-infty
O conteúdo é a definição formal de limite que tende a -infty: mostrar que para todo M<0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x+3|<de<a, temos f(x)<M.

Passo 2

Definimos
f(x)=-4(3x+9)^2
Como 3x+9=3(x+3), fica
f(x)=-49(x+3)^2=-49,1(x+3)^2,
o que mostra que f(x) é sempre negativo para xneq -3.

Passo 3

Seja um número arbitrário M<0. Queremos achar de<a>0 tal que
0<|x+3|<de<a Longrightarrow -49,1(x+3)^2<M
Multiplicando a desigualdade por -1 (e invertendo o sinal), obtemos
49,1(x+3)^2> -M Longrightarrow 1(x+3)^2> 94,(-M)

Passo 4

A última desigualdade equivale a
(x+3)^2<49,(-M),
isto é, basta ter
|x+3|<raiz49,(-M)=23raiz-M

Passo 5

Para garantir também que xneq -3 e denominar o denominador, escolhemos
de<a=minl1,;23raiz-Mr
Então, sempre que 0<|x+3|<de<a, temos simultaneamente |x+3|<1 (para manter o denominador não nulo) e |x+3|<tfrac23raiz-M, o que implica 1(x+3)^2>tfrac94(-M) e, por consequência, f(x)<M.

Passo 6

Pela definição de limite que tende a -infty, concluímos que
limxto -3-4(3x+9)^2=-infty

Resposta

limxto -3-4(3x+9)^2=-infty.

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