Calcule as áreas das regiões limitadas pelas funções
y=x^2, y=x^3, x=2 e x=10

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^2, y=x^3 e pelas retas verticais x=2 e x=10. Para resolver, usaremos o método de integrais definidas para área entre duas funções:
seja f(x) a curva superior e g(x) a curva inferior no intervalo dado, então
Área = integrala^b l(f(x)-g(x)r),dx Á

Passo 2

Precisamos determinar qual função está acima da outra quando 2<= x<=10. Como para x>1 vale x^3>x^2, temos
f(x)=x^3 e g(x)=x^2 nesse intervalo.

Passo 3

Montamos a integral da área entre as curvas de x=2 até x=10:
Área = integral2^10 l(x^3 - x^2r),dx Á

Passo 4

Calculamos a integral:
integral l(x^3 - x^2r),dx = x^44 - x^33
Avaliando de 2 a 10:
[x^44 - x^33]2^10 = l(10^44 - 10^33r) - l(2^44 - 2^33r) = l(2500 - 10003r) - l(4 - 83r)
Fazendo as contas em comum denominador:
2500 - 10003 = 7500-10003 = 65003, 4 - 83 = 12-83 = 43,
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Área = 65003 - 43 = 64963 Á

Resposta

A área da região é 64963 áãé

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