Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x 2-3(4-2 x)^4=-infty

Passo 1

O enunciado pede para provar que
limxto2 -3(4-2x)^4 = -infty
usando a definição de limite que diz: para todo M<0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-2|<de<a, então -3(4-2x)^4<M.

Passo 2

Reescrevendo o denominador, temos
(4-2x)^4 = l(2(2-x)r)^4 = 16,(x-2)^4,
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f(x) = -3(4-2x)^4 = -316,(x-2)^4
Note que para xneq2 o denominador é positivo, então f(x)<0.

Passo 3

Seja dado um M<0. Queremos escolher de<a>0 tal que 0<|x-2|<de<a implique
-316,(x-2)^4 < M
Começamos manipulando essa desigualdade:
-316,(x-2)^4 < M ;Longrightarrow; 316,(x-2)^4 > -M ;Longrightarrow; 16,(x-2)^4 < 3-M ;Longrightarrow; (x-2)^4 < 316,(-M) = -316,M

Passo 4

Basta então definir
de<a = l(-tfrac316,Mr)^1/4,
o que garante que, se 0<|x-2|<de<a, então (x-2)^4<-tfrac316M e invertendo os passos chegamos a
-316,(x-2)^4 < M
Pela definição de limite para -infty, concluímos que
limxto2 -3(4-2x)^4 = -infty

Resposta

-infty

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