Calcule as áreas das regiões limitadas pelas funções
y=raizx, y=-raizx-2, y=-x e y=x-10

Passo 1

Resumo do enunciado: temos quatro curvas
y=raizx, y=-raizx-2, y=-x, y=x-10
e vemos que elas determinam duas regiões fechadas disjuntas no plano. A primeira região (chamo-la Região I) é limitada por
y=raizx, y=-x, y=x-10
e a segunda (Região II) é limitada por
y=-raizx-2, y=-x, y=x-10
Para calcular cada área, usaremos integração definida, lembrando que ao longo do eixo x o limite inferior do “fundo” da região muda no ponto em que as retas y=-x e y=x-10 se cruzam.

Passo 2

Encontrando os pontos de interseção relevantes:
1. raizx=-x implies x=0, ponto E=(0,0).
2. raizx=x-10 implies x=21+raiz412, ponto A.
3. -x=x-10 implies x=5, ponto D=(5,-5).
4. -raizx-2=-x implies x=4, ponto B=(4,-4).
5. -raizx-2=x-10 implies x=17-raiz332, ponto C.
Assim, Região I tem vértices em E, A e D; e Região II tem vértices em B, C e D.

Passo 3

Montamos a integral para a Região I. Ela se estende em x de 0 até xA=tfrac21+raiz412, mas a reta de “fundo” troca de y=-x para y=x-10 em x=5. Logo
Arearm I =integral0^5l(raizx-(-x)r),dx +integral5^tfrac21+raiz412l(raizx-(x-10)r),dx
Calculando essas integrais (interpolações de potências e polinômios) chega-se ao resultado fechado
boxed Arearm I =361+41raiz4112

Passo 4

Para a Região II usamos a mesma ideia: integraremos de xB=4 até xC=tfrac17-raiz332, trocando em x=5 o “fundo” de y=-x para y=x-10. Assim
Arearm II =integral4^5l[-raizx-2-(-x)r],dx +integral5^tfrac17-raiz332l[-raizx-2-(x-10)r],dx
Executando a integração obtemos
boxed Arearm II =197-33raiz3312

Resposta

Área da Região I (entre y=raizx,,y=-x,,y=x-10):
361+41raiz4112
Área da Região II (entre y=-raizx-2,,y=-x,,y=x-10):
197-33raiz3312

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