Calcule as áreas das regiões limitadas pelas funções
e
Passo 1
Resumo do enunciado: temos quatro curvas
e vemos que elas determinam duas regiões fechadas disjuntas no plano. A primeira região (chamo-la Região I) é limitada por
e a segunda (Região II) é limitada por
Para calcular cada área, usaremos integração definida, lembrando que ao longo do eixo
o limite inferior do “fundo” da região muda no ponto em que as retas
e
se cruzam.
Passo 2
Encontrando os pontos de interseção relevantes:
.
, ponto
.
.
, ponto
.
.
, ponto
.
.
, ponto
.
.
, ponto
.
Assim, Região I tem vértices em
,
e
; e Região II tem vértices em
,
e
.
Passo 3
Montamos a integral para a Região I. Ela se estende em
de
até
, mas a reta de “fundo” troca de
para
em
. Logo
Calculando essas integrais (interpolações de potências e polinômios) chega-se ao resultado fechado
Passo 4
Para a Região II usamos a mesma ideia: integraremos de
até
, trocando em
o “fundo” de
para
. Assim
Executando a integração obtemos
Resposta
Área da Região I (entre
):
Área da Região II (entre
):