Questão 10. Calcule as integrais:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxl(x^2+2x+2r)^2
O conteúdo principal aqui é integrar uma função racional, para isso vamos completar o quadrado no denominador e usar uma substituição que leve a uma integral do tipo integral du(u^2+1)^2.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador:
x^2+2x+2 = (x+1)^2+1
Fazendo a mudança de variável
u = x+1, du = dx,
a integral passa a ser
integral du(u^2+1)^2

Passo 3

Para calcular
integral du(u^2+1)^2
usamos a substituição trigonométrica u=tantheta, de modo que
du = sec^2theta,dtheta, u^2+1 = sec^2theta
Assim,
integral du(u^2+1)^2 = integral sec^2theta,dthetasec^4theta = integral cos^2theta,dtheta = integral 1+cos(2theta)2,dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C
Como sin(2theta)=2sinthetacostheta e tantheta=u, temos
sintheta = uraizu^2+1, costheta = 1raizu^2+1,
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sin(2theta)4 = 2sinthetacostheta4 = ;u;/;(u^2+1);2 = u2(u^2+1)
E como theta=arctan u, concluímos
integral du(u^2+1)^2 = u2(u^2+1) + 12arctan u + C

Passo 4

Voltando à variável x, lembrando que u=x+1, obtemos
integral dx(x^2+2x+2)^2 = x+12l((x+1)^2+1r) + 12arctan(x+1) + C

Resposta

boxed integral dx(x^2+2x+2)^2 = x+12l((x+1)^2+1r) + 12arctan(x+1) + C

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