Calcule, usando mudança para coordenadas polares, as seguintes integrais.
integral0^1 integraly-1^2-2 y e^-(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I ;=;integral0^1!integraly-1^,2-2y e^-l(x^2+y^2r),dx,dy
fazendo a mudança para coordenadas polares. O conteúdo envolvido é integrar uma função radial e^-r^2 sobre a região triangular cujos vértices são (-1,0), (2,0) e (0,1).

Passo 2

Vamos descrever a região R em coordenadas cartesianas:
  • A aresta inferior é o segmento em y=0 de x=-1 até x=2.
  • A aresta da esquerda é a reta x = y - 1, que passa pelos pontos (-1,0) e (0,1).
  • A aresta da direita é a reta x + 2y = 2, que passa pelos pontos (2,0) e (0,1).

Passo 3

Em coordenadas polares l(x=rcostheta,;y=rsinthetar) temos x^2+y^2=r^2 e dx,dy = r,dr,dtheta.
As três fronteiras ficam:
  1. y=0 ;Longrightarrow;theta=0 (raio sobre o eixo x).
  2. x=y-1 ;Longrightarrow;r(costheta - sintheta)=-1 ;Longrightarrow;r = -1costheta - sintheta.
  3. x+2y=2 ;Longrightarrow;r(costheta + 2sintheta)=2 ;Longrightarrow;r = 2costheta + 2sintheta.

Passo 4

Cada raio que parte da origem entra na região a partir de r=0 até bater na reta x+2y=2, exceto para theta em que o raio atravessa primeiro x=y-1.
  • Para 0 <= theta <= pi/4 tem costheta-sintheta>=0, logo r=-1/(costheta-sintheta) seria negativo e não importa; o limite inferior é r=0.
  • Para pi/4 <= theta <= pi-arctan(1/2) tem costheta-sintheta<0, então o raio entra na região em
r1(theta)=-1costheta-sintheta
e sai em
r2(theta)=2costheta+2sintheta,

Passo 5

Substituindo e^-(x^2+y^2),dx,dy = e^-r^2,r,dr,dtheta, a integral fica
I = integral0^pi/4!integral0^2costheta+2sintheta e^-r^2,r,dr,dtheta ;+; integralpi/4^,pi - arctan(1/2)!integral-1costheta-sintheta^2costheta+2sintheta e^-r^2,r,dr,dtheta

Resposta

I = integral0^pi/4!integral0^2costheta+2sintheta e^-r^2,r,dr,dtheta ;+; integralpi/4^,pi - arctan(1/2)!integral-1costheta-sintheta^2costheta+2sintheta e^-r^2,r,dr,dtheta

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