Calcule, usando mudança para coordenadas polares, as seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
fazendo a mudança para coordenadas polares. O conteúdo envolvido é integrar uma função radial
sobre a região triangular cujos vértices são
,
e
.
Passo 2
Vamos descrever a região
em coordenadas cartesianas:
- A aresta inferior é o segmento em
de até . - A aresta da esquerda é a reta
, que passa pelos pontos e . - A aresta da direita é a reta
, que passa pelos pontos e .
Passo 3
Em coordenadas polares
temos
e
.
As três fronteiras ficam:
As três fronteiras ficam:
-
(raio sobre o eixo ). -
. -
.
Passo 4
Cada raio que parte da origem entra na região a partir de
até bater na reta
, exceto para
em que o raio atravessa primeiro
.
- Para
tem , logo seria negativo e não importa; o limite inferior é . - Para
tem , então o raio entra na região em
e sai em
Passo 5
Substituindo
, a integral fica