Calcule as seguintes integrais iteradas.
integral-1^2 integral1^4(2 x y^2+6 x^3 y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integraly=-1^2integralx=1^4l(2x y^2+6x^3yr),dx,dy
O conteúdo que vamos usar é integração de polinômios em duas variáveis, integrando primeiro em x (tratando y como constante) e depois em y.

Passo 2

Calculemos a integral interna em x:
integral1^4l(2x y^2+6x^3yr),dx =integral1^42x y^2,dx+integral1^46x^3y,dx
Como y é constante em cada integral, temos
integral2x y^2,dx =2y^2integral x,dx =2y^2cdotx^22 =y^2x^2,
avaliando de x=1 a x=4
y^2(4^2-1^2)=15y^2
E
integral6x^3y,dx =6yintegral x^3,dx =6ycdotx^44 =32yx^4,
avaliando de 1 a 4
32y,(4^4-1^4) =32ycdot255 =7652y
Portanto a integral interna é
15y^2+7652y

Passo 3

Agora integramos em y:
integral-1^2l(15y^2+tfrac7652yr),dy =15integral-1^2y^2dy +7652integral-1^2y,dy
Calculando separadamente,
15integral y^2dy=15cdoty^33=5y^3, 7652integral y,dy =7652cdoty^22 =7654y^2
Logo uma antiderivada é
F(y)=5y^3+7654y^2

Passo 4

Avalie F em y=2 e y=-1:
F(2)=5cdot2^3+7654cdot2^2 =40+765 =805,
F(-1)=5cdot(-1)^3+7654cdot(-1)^2 =-5+7654 =7454
A integral total é
F(2)-F(-1) =805-7454 =3220-7454 =24754

Resposta

24754

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