Calcule as seguintes integrais iteradas.
integral1^3 integral0^1(1+4 x^2 y^5) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integraly=1^3integralx=0^1l(1+4x^2y^5r),dx,dy
O conteúdo é integração de uma função polinomial em duas variáveis sobre um retângulo. Vamos usar a propriedade de integrais iteradas (Teorema de Fubini) para integrar primeiro em x (mantendo y como constante) e depois em y.

Passo 2

Calcule a integral interna em x:
integralx=0^1l(1+4x^2y^5r),dx =integral0^11,dx+integral0^14x^2y^5,dx
Aqui integral0^11,dx= x|0^1=1 e em integral0^14x^2y^5,dx podemos tirar 4y^5 como constante:
integral0^14x^2y^5,dx =4y^5integral0^1x^2,dx =4y^5,x^33|0^1 =43y^5

Passo 3

Somando os dois resultados obtemos a integral interna como função de y:
integral0^1l(1+4x^2y^5r),dx =1+43y^5

Passo 4

Agora integramos em y de 1 a 3:
integraly=1^3l(1+tfrac43y^5r),dy =integral1^31,dy+43integral1^3y^5,dy
Calculamos separadamente:
integral1^31,dy = y|1^3=3-1=2,
integral1^3y^5,dy = y^66|1^3 =3^6-1^66 =729-16 =7286 =3643

Passo 5

Substituindo em volta:
integral1^3l(1+tfrac43y^5r),dy =2+43cdot3643 =2+4cdot3649 =2+14569 =189+14569 =14749

Resposta

14749

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