Calcule as áreas das regiões limitadas pelas funções
Y=x^3 e y=raizx

Passo 1

O enunciado pede a área da região em que as curvas
y = x^3
e
y = raizx
se interceptam. O conteúdo aqui é “área entre curvas”, para o qual precisamos (1) encontrar os pontos de interseção e (2) integrar a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Para achar as interseções, igualamos
x^3 = raizx
Como raizx exige x>=0, escrevemos
x^3 - x^1/2 = 0 Longrightarrow x^1/2l(x^5/2-1r)=0,
logo x=0 ou x^5/2=1, isto é, x=1. Então as curvas se cruzam em x=0 e x=1.

Passo 3

Para 0<= x<=1, observa-se que
x^3 <= x e raizx>= x,
logo
raizx>= x^3
nessa faixa. Assim a área pedida é
integral0^1l(raizx-x^3r),dx

Passo 4

Calculamos separadamente
integral raizx,dx = integral x^1/2,dx = tfrac23x^3/2
e
integral x^3,dx = tfracx^44
Avaliando de 0 a 1 e subtraindo,
integral0^1raizx,dx = tfrac23, integral0^1x^3,dx = tfrac14,
portanto
integral0^1l(raizx-x^3r),dx = tfrac23 - tfrac14 = tfrac812-tfrac312 = tfrac512

Resposta

A área da região limitada pelas curvas y=x^3 e y=raizx é tfrac512.

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