Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
22. L^-1s^2+1s(s-1)(s+1)(s-2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
L^-1ls^2+1s(s-1)(s+1)(s-2)r
O conteúdo necessário é usar decomposição em frações parciais e o fato de que
L^-1tfrac1s=1 e L^-1tfrac1s-a=e^at.

Passo 2

Fazemos a decomposição
s^2+1s(s-1)(s+1)(s-2) =As+Bs-1+Cs+1+Ds-2
Multiplicando por s(s-1)(s+1)(s-2) obtemos
s^2+1 = A(s-1)(s+1)(s-2) + B,s(s+1)(s-2) + C,s(s-1)(s-2) + D,s(s-1)(s+1)

Passo 3

Para achar A,B,C,D fazemos s=0,1,-1,2:
  • s=0:1 = Acdot(-1)cdot1cdot(-2)=2Aimplies A=tfrac12
  • s=1:2 = Bcdot1cdot2cdot(-1)=-2Bimplies B=-1
  • s=-1:2 = Ccdot(-1)cdot(-2)cdot(-3)=-6Cimplies C=-tfrac13
  • s=2:5 = Dcdot2cdot1cdot3=6Dimplies D=tfrac56

Passo 4

A decomposição fica
s^2+1s(s-1)(s+1)(s-2) =1/2s -1s-1 -1/3s+1 +5/6s-2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
L^-1tfrac1/2s=tfrac12, L^-1tfrac-1s-1=-e^t, L^-1tfrac-1/3s+1=-tfrac13e^-t, L^-1tfrac5/6s-2=tfrac56e^2t
Somando esses termos, obtemos a função no domínio do tempo.

Resposta

f(t) =12 ;-; e^t;-;13e^-t;+;56e^2t

Exercícios relacionados