Escrever a função comprimento de arco de:
r(t)=(cos ^3 t, sen^3 t, 34 cos 2 t) d) r(t)=(a cos ^3 t, a sen^3 t) t in[0, pi / 2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a função que calcula o comprimento do arco de uma curva dada por uma função vetorial. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de funções parametrizadas e como determinar o comprimento de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de vetores e como integrar para achar o comprimento total da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco S(t) de uma curva parametrizada por r(t) é dado pela integral da norma da derivada de r(t) . Ou seja:
S(t) = integralt0^t |r'(u)| , du
Aqui, r'(u) é a derivada da função vetorial em relação a u , e |r'(u)| é o módulo dessa derivada, que nos dá a velocidade instantânea ao longo da curva.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função vetorial r(t) . A função é:
r(t) = (a cos^3 t, , a sin^3 t)
Derivando cada componente em relação a t :
r'(t) = ( ddt (a cos^3 t), , ddt (a sin^3 t) )
Usando a regra da cadeia:
ddt (cos^3 t) = 3 cos^2 t (-sin t) = -3 cos^2 t sin t
ddt (sin^3 t) = 3 sin^2 t cos t
Então,
r'(t) = ( -3 a cos^2 t sin t, , 3 a sin^2 t cos t )

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de r'(t) , ou seja, |r'(t)| . A norma de um vetor (x, y) é dada por raizx^2 + y^2 . Assim:
|r'(t)| = raiz ( -3 a cos^2 t sin t )^2 + ( 3 a sin^2 t cos t )^2
Simplificando:
|r'(t)| = raiz 9 a^2 cos^4 t sin^2 t + 9 a^2 sin^4 t cos^2 t
= raiz 9 a^2 cos^2 t sin^2 t ( cos^2 t + sin^2 t )
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1 , então:
|r'(t)| = raiz 9 a^2 cos^2 t sin^2 t = 3 a cos t sin t

Passo 5

Agora que temos a expressão para |r'(t)| , podemos configurar a integral para o comprimento de arco:
S(t) = integral0^t 3 a cos u sin u , du
Aqui, integramos de 0 a t porque o intervalo dado é t in [0, pi/2] .

Passo 6

Vamos resolver a integral:
S(t) = 3 a integral0^t cos u sin u , du
Podemos usar a substituição v = sin u , então dv = cos u , du . Assim:
S(t) = 3 a integralv=0^v=sin t v , dv = 3 a [ v^22 ]0^sin t = 3 a ( sin^2 t2 - 0 ) = 3 a2 sin^2 t

Resposta

A função comprimento de arco é:
S(t) = 3 a2 sin^2 t

Exercícios relacionados