Escrever a função comprimento de arco de:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a função que calcula o comprimento do arco de uma curva dada por uma função vetorial. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de funções parametrizadas e como determinar o comprimento de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de vetores e como integrar para achar o comprimento total da trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco
de uma curva parametrizada por
é dado pela integral da norma da derivada de
. Ou seja:
Aqui,
é a derivada da função vetorial em relação a
, e
é o módulo dessa derivada, que nos dá a velocidade instantânea ao longo da curva.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função vetorial
. A função é:
Derivando cada componente em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de
, ou seja,
. A norma de um vetor
é dada por
. Assim:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora que temos a expressão para
, podemos configurar a integral para o comprimento de arco:
Aqui, integramos de
a
porque o intervalo dado é
.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Podemos usar a substituição
, então
. Assim:
Resposta
A função comprimento de arco é: