Calcule as seguintes integrais
integral 18 sec ^2 x tan ^2 x(2+tan ^3 x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral 18sec^2x,tan^2xl(2+tan^3xr)^2,dx
que envolve funções de tan x e sec x. Como o denominador é l(2+tan^3xr)^2 e o numerador contém tan^2x,sec^2x, faz sentido usar substituição para u=2+tan^3x.

Passo 2

Definindo
u = 2 + tan^3x,
temos
du = 3,tan^2x,sec^2x,dx Longrightarrow tan^2x,sec^2x,dx = du3

Passo 3

No numerador aparece 18,tan^2x,sec^2x,dx, que vira
18,du3 = 6,du
O denominador l(2+tan^3xr)^2 é simplesmente u^2. Assim a integral se transforma em
integral 6u^2,du

Passo 4

Para integrar em u, escrevemos
integral 6u^2,du = 6integral u^-2du = 6(u^-1-1) = -6u + C

Passo 5

Voltando à variável original x, u = 2 + tan^3x. Logo a primitiva é
-62 + tan^3x + C

Resposta

-62+tan^3x + C

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