Seja C a curva parametrizada por r(t)=(cos (3 t), sin (3 t), k t) onde k>0 e t in[0,2 pi]. Sabendo que o comprimento da curva é 12 pi, determine o valor da constante k.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t) = (cos(3t),,sin(3t),,k,t), tin[0,2pi],
e pede k>0 tal que o comprimento de C seja 12pi. Vamos usar a fórmula de comprimento de curva parametrizada:
L = integrala^b llVert r'(t)rrVert ,dt

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada
r'(t) = l(-3sin(3t),,3cos(3t),,kr)
e o seu módulo
llVert r'(t)rrVert = raiz(-3sin(3t))^2 + (3cos(3t))^2 + k^2 = raiz9(sin^2(3t)+cos^2(3t)) + k^2 = raiz9 + k^2

Passo 3

O comprimento é
L = integral0^2pi raiz9 + k^2;dt = 2pi,raiz9 + k^2
Como queremos L=12pi, igualamos
2pi,raiz9 + k^2 = 12pi

Passo 4

Dividindo por 2pi e isolando k:
raiz9 + k^2 = 6 Longrightarrow 9 + k^2 = 36 Longrightarrow k^2 = 27 Longrightarrow k = raiz27 = 3raiz3,
pois k>0.

Resposta

k = 3raiz3

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